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Carta Abierta sobre la PAU en Canarias Twittear |
Las Palmas, a 21 de abril de 2014
Estimado, estimada,
D. Carlos Guitián Ayneto, director general General de Universidades del gobierno de Canarias,
Dr. José Regidor Garcá, rector de la universidad de Las Palmas de Gran Canaria
D. Jesús Pérez Peña, jefe del Servicio de Inspección de la ULPGC
Doña Maria Dolores García León, directora del departamento de matemáticas de la ULPGC
D. Angelo Santana del Pino, miembro de la subcomisión Matemáticas II de la PAU
D. Luísa Rodríguez Germá, miembro de la subcomisión Matemáticas II de la PAU
D. Lucá E. Henríquez Rodríguez, miembro de la subcomisión Matemáticas II de la PAU
D. Antonio F.A A. Cordovés A. de B., miembro de la subcomisión Matemáticas II de la PAU
D. Eduardo Doménech Martínez Rector de la universidad de La Laguna
D, César Rodríguez Mielgo Dpto. de Matemáticas de la ULPGC
Facultad de matemática de la universidad de La Laguna
Agencia Canaria de Calidad Universitaria y Evaluación Educativa (ACCUEE)
En matemáticas, si \(E\) y \(F\) son dos conjuntos ordenados, se dice de una función \(f\) de \(E\) a valores en \(F\) que es creciente, respectivamente decreciente, en una parte \(E'\) de \(E\) si y solo si para todo \(x_{1}\), \(x_{2}\) de \(E'\), \(x_{1} \leq x_{2}\) implica \(f(x_{1}) \leq f(x_{2})\), respectivamente \(f(x_{1}) \geq f(x_{2})\). Destacar que habitualmente \(E'\) es un intervalo del cuerpo de los reales \(\mathbb{R}\), y que es buena costumbre restringir la definición de la monotonía a los intervalos, es decir, no hablar de motononía en algo que no sea un intervalo, para evitar errores como el que vamos a ver a continuación.
La función inversa definida sobre \(\mathbb{R}-\{0\}\), que a todo \(x\) asocia \(\frac{1}{x}\) es decreciente en los intervalos \((-\infty,0)\) y \((0,+\infty)\).
Pero no lo es en el conjunto \((-\infty,0) \cup (0,+\infty)\).
En efecto, \(-1\) y \(1\) son dos elementos de este conjunto, tenemos \(-1 \leq 1\) y no obstante \(\frac{1}{-1} < \frac{1}{1}\), es decir que no tenemos \(f(-1) \geq f(1)\). Dicho de otro modo, \(-1\), \(1\) y sus imágenes respectivas estan en el mismo orden lo cual contradice tajantemente la definición de una función decreciente.
Es un error pensar que porque una función tiene una monotonía en dos partes de su dominio, la tiene también en la unión de dichas partes.
Error que se repite en los enunciados de las siguientes pruebas oficiales de la PAU en Canarias :
PAU 2009/2010 fase general matemáticas II Opción A ejercicio 1
PAU 2004/2005 examen 1 matemáticas II Opción B ejercicio 1
PAU 2002/2003 convocatoria Junio examen 1, matemáticas II Opción B ejercicio 1
PAU 2002/2003 convocatoria Septiembre examen 1, matemáticas II Opción A ejercicio 1
PAU 2001/2002 examen 2, matemáticas II Opción A ejercicio 1
En mi opinión, las pruebas de acceso a las universidades deberán estar correctamente redactadas y exentas de errores e inexactitudes. Le agradecerá que, en su caso, tomara las medidas que estén a su alcance para que en lo que queda de la PAU, cuanto menos no se vuelva a repetir este error.
Saludos muy cordiales,
Gauthier Dubois,
Ingeniero Industrial.
Se remite copia a los principales medios de comunicación: La Provincia, Canarias7, El Periodico de Canarias, Diario de Avisos, La Opinión, Canarias 24 horas, El Dá.
La versión original de esta carta está disponible en http://www.mentematematica.com/?o=c
Respuesta de la Subcomisión de Matemáticas II (4 de mayo 2014):
En relación con el correo electrónico remitido con fecha 21 de abril de 2014, relativo a un posible error en el planteamiento de algunas preguntas relacionadas con la monotonía de funciones en pruebas de la PAU en el curso 2009/10 y algunos cursos anteriores, ha de tenerse en cuenta que en los libros de texto que se utilizan habitualmente en bachillerato se manejan dos definiciones para el concepto de función creciente:
1.- Una definición referida al crecimiento/decrecimiento local en un entorno de un punto a:
- f(x) es creciente en un punto a si existe un entorno E(a) tal que
i) si x está en E(a) y x<a, entonces f(x) ‰¤ f(a)
ii) si x está en E(a) y x>a, entonces f(x) ‰¥ f(a) -
f(x) es decreciente en un punto a si existe un entorno E(a) tal que
i) si x está en E(a) y x<a, entonces f(x) ‰¥ f(a)
ii) si x está en E(a) y x>a, entonces f(x) ‰¤ f(a)
2.- Una definición referida al crecimiento/decrecimiento en un intervalo:
- f(x) es creciente en un intervalo I si dados a y b cualesquiera de I con a<b, se verifica que f(a) ‰¤ f(b)
- f(x) es decreciente en un intervalo I si dados a y b cualesquiera de I con a<b, se verifica que f(a) ‰¥ f(b)
Cuando una función es creciente (decreciente) en todos los puntos de cada uno de dos intervalos disjuntos (a,b) y (c,d) es habitual en múltiples libros de texto emplear la notación (a,b) U (c,d) para especificar que el crecimiento (decrecimiento) de la función se produce en cada uno de los intervalos, aún cuando si se escoge un punto en uno de los intervalos y otro punto en el otro intervalo, la condición de crecimiento (decrecimiento) no se verifique.
Ahora bien:
- Si se utiliza la primera definición, dada su naturaleza local, puede aplicarse sin ningún problema a dominios de la forma (a,b)U(c,d), ya que la propia definición de crecimiento/decrecimiento local impide elegir un valor en (a,b) y otro en (c,d) para determinar el crecimiento/decrecimiento de la función.
- Si se utiliza la segunda definición, de su lectura se infiere que es válida sólo para intervalos; si el dominio que se considera es de la forma (a,b)U(c,d), tal dominio no es, obviamente, un intervalo, por lo que al aplicarse tal definición debe hacerse a cada uno de los intervalos por separado. Puede entenderse que hay aquí cierto abuso de notación y que en lugar de decir "la función es creciente en (a,b)U(c,d)" deberá decirse de un modo más preciso "la función es creciente en los intervalos (a,b) y (c,d)". No obstante, como hemos señalado más arriba, este sobreentendido es habitual en muchos libros de texto y en muchos centros docentes se explica a los alumnos en ese sentido.
Atentamente
La subcomisión de Matemáticas II
4 de mayo de 2014
Respuesta de Gauthier (13 de mayo 2014):
Estimados señores,
Ante todo, agradeceros sinceramente su respuesta a mi carta abierta, que he leído con mucha atención. Agradezco mucho este esfuerzo de colaboración y transparencia.
Es cierto que se puede hablar de una función localmente creciente en cada punto de un conjunto. Y de hecho coincido con ustedes en que esta noción subyace a veces en algunos libros de texto de bachiller en España. No obstante estimo que si el crecimiento al que uno se refiere es solamente local, ha de especificarse.
A modo de ejemplo, en la página web de la universidad de Las Palmas, podemos encontrar una definición de una función creciente o decreciente:
Monotonía (ULPGC)
Se trata de la definición que he dado en mi carta abierta, no la de un crecimiento local, y esto a pesar de que no se hable en ningún momento de intervalos. En este caso, bastará con aplicar esta definición con A=(1,3)U(3,+infinito), x=2, e y=4 para constatar el problema en el enunciado PAU 2009/2010 fase general matemáticas II Opción A ejercicio 1.
La definición de la monotonía en la página web de la universidad de Las Palmas es a mi entender correcta cuando no se especifica el carácter local del crecimiento. Al menos coincide con la que podemos leer en wikipedia en casi todos los idiomas, he aquí algunos de ellos:
Inglés: Monotonic function
Español: Función monotona
Francés: Fonction_monotone
Alemán: Monotonie Mathematik
La universidad de Princeton ofrece igualmente en su página web la definición de una función monotona, no necesariamente en un intervalo sino en un subconjunto cualquiera del dominio, y que nuevamente corresponde con la definición que he dado en mi carta abierta:
Princeton University
Por otra parte, ya saben que si una función derivable mantiene su signo en una unión de intervalos, será localmente monotona en cada punto de dicho conjunto. Pero para poder deducir que es monotona precisamos que dicha unión constituya un intervalo.
Y de hecho en las pruebas de la PAU de Madrid por ejemplo, se habla de una función cuya derivada tiene un determinado signo en la unión de dos intervalos que no constituye un intervalo, y se pide al alumno dibujar la función. En este caso no hay ningún problema y probablemente se ha redactado el enunciado con esta malicia por el motivo que estoy destacado en mi carta abierta.
En todo caso, me quedo con lo expuesto en su último párrafo, que aclara que se evitará en el futuro toda notación que pueda resultar confusa o inducir a error. Me alegro particularmente de que este esfuerzo no se limite exclusivamente al problema que he levantado, al menos así lo entiendo. Esto es para mi lo mas importante y el único motivo de mi carta por lo que me alegro haber llegado hasta aquí y les agradezco la cooperación.
Entiendo que a partir de ahora, si un problema pide los intervalos de monotonía de una función, los correctores estarán debidamente avisados que, tal y como lo exponen en su carta, se debe dar por buena una respuesta del tipo «la función es creciente en el intervalo I1 y en el intervalo I2 » además de la respuesta (normalmente incorrecta) €œla función es creciente en I1 U I2€�. Una permisividad que se justifica plenamente pues los libros y apuntes de los alumnos suelen reproducir el error con frecuencia. Dicho sea de paso, es a mi juicio una permisividad justificada pero que contrasta con la extrema dureza con la que se trata a un alumno que no obtendrá todos los puntos simplemente porque usa el símbolo €œ=€� cuando redondea un resultado (lo leo en los €œcriterios para calificar€�).
Por otra parte, es cierto que hay en muchos libros de textos lo que llaman €œcierto abuso de notación. Pienso que también deberá tratarse y solventarse. Lo estoy intentando. Lamentablemente, estos €œabusos de notación no se limitan exclusivamente al asunto de la monotonía de funciones. Hago lo que puedo dentro de mis posibilidades y me gustará contar con su apoyo si fuese posible.
Volviendo a las pruebas de la PAU, creo que existen otros temas que se deberán tratar. A modo de ejemplo, he observado que alguno institutos en Canarias están usando el criterio de límite por valores distintos. Otros institutos en cambio usan el criterio del límite sin hablar de "valores distintos" o usan ambos criterios indiscriminadamente. Me parece que de momento la diferencia de criterios que he observado no ha podido inducir respuestas distintas a un mismo problema de la PAU en Canarias pero es realmente muy fácil que esto ocurra por lo que si todavá no se ha hecho, me parece fundamental aclarar el criterio.
Reiterando mi agradecimiento por la atención recibida, la cooperación que han demostrado al dar respuesta a mi carta, y su compromiso de cara a las futuras pruebas de la PAU, me despido cordialmente,
Gauthier Dubois
Ingeniero Industrial
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