He constatado que existen muchos errores en los libros de matemáticas a los que tengo acceso en castellano. También he visto errores en los enunciados de las pruebas de acceso a ciertas universidades lo cual ha sido objeto de cartas abiertas a los redactores de dichas pruebas. Cuando doy clases particulares y mis alumnos me enseñan sus apuntes y fotocopias casí siempre veo errores. En cuanto a la información disponible en internet en castellano, la cosa está aún peor. Así que he decidido escribir un artículo con 10 maneras de demostrar que 2=3 usando lo que veo en los libros de la ESO y Bachiller, lo que hay en las webs mas visitadas, los apuntes de profesores, pruebas oficiales etc. Cuando cito mis fuentes soy muy evasivo y es adrede. El motivo es que no quiero que esto se convierta en una caza de brujas ni levantar ampollas. Todo lo contrario, me gustaría contar con el apoyo de los que se hayan equivocado para que se corrijan los errores, y no se vuelvan a cometer.


Error nº 1

\(\sqrt{4}=\pm2\)

Fuente:

Un sin fín de libros y páginas web en castellano.

Lo correcto es:

\(\sqrt{4}=2\)
Para todo real positivo \(x\), \(\sqrt{x}\) designa la raíz principal de \(x\), la cual es única y positiva. Es el único real positivo cuyo cuadrado es \(x\). Se denomina a menudo "raíz de \(x\)". "Raíz" en singular. No se debe confundir con las raíces de la ecuación \(x^{2}=4\) que son \(2\) y \(-2\).

Este error en la vida cotidiana sería:


"Dame esta fruta por favor"

Explicación:

De forma general cada vez que vayamos a escribir algo en matemáticas, con antelación hay que definirlo. Y definirlo consiste en demostrar existencia y unicidad de lo que se escribe. A modo de ejemplo, cuando escribimos que el conjunto de las raíces de la ecuación \(x^{2}=4\)  es \(\{-2,2\}\), tenemos unicidad de dicho conjunto aunque tenga dos elementos, cada uno de ellos único. En la imagen anterior, podemos decir "Dame las frutas por favor". Pero si pretendemos algo como "\(\sqrt{4}=\{-2,2\}\)" entonces no podemos sumar dos raíces cuadradas ni coger el coseno de una raíz cuadrada ya que no está definido el coseno de un conjunto.


Demostración de que 2=3 usando ese error:

\(\sqrt{4}=\pm2\), luego \(\sqrt{4}=-2\) y \(\sqrt{4}=2\).
Por otro lado tenemos \(\sqrt{4}=\sqrt{4}\), sustituimos y obtenemos \(-2=2\).
Sumando \(2\): \(0=4\), dividimos entre \(4\) y sumamos \(2\): \(2=3\).

Error nº2

Reza un ejercicio: "Dar los conjuntos mas pequeños a los que pertenecen 2, \(\frac{2}{3}\), \(-7\) \(\sqrt{3}\)" y se espera la respuesta "\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{R}\)".

Fuente:
Libros de la ESO y apuntes de alumnos en Canarias

Lo correcto es:

Entendiendo que la relación de orden subyacente en la expresión "mas pequeños" es la relación de inclusión, los conjuntos mas pequeños conteniendo 2, \(\frac{2}{3}\), \(-7\), \(\sqrt{3}\) son respectivamente \(\{2\}\), \(\{\frac{2}{3}\}\), \(\{-7\}\), \(\{\sqrt{3}\}\).

Este error en la vida cotidiana sería:

"El ascensor sólo admite una persona así que vayan subiendo en pequeños grupos de 5 personas."

Explicación:

No hay mucho mas que decir. Es un simple despiste del profesor y del autor del libro. Un despiste sin mucha transcendencia. Lo correcto hubiera sido redactar el ejercicio de la siguiente manera "De entre los conjuntos \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), dar el mas pequeño que contenga 2, \(\frac{2}{3}\), \(-7\), \(\sqrt{3}\)".

Demostración de que 2=3 usando ese error:

\(\{2\}\) contiene 2. Si \(\mathbb{N}\) es el conjunto mas pequeño que contiene 2, entonces es mas pequeño que \(\{2\}\) por la relación de orden de la inclusión. Es decir que \(\mathbb{N} \subset \{2\}\). Todos los elementos de \(\mathbb{N}\) pertenecen a \(\{2\}\). 3 pertenece a \(\mathbb{N}\), por lo tanto pertenece a \(\{2\}\), ha de ser igual al único elemento de este conjunto. 2=3.

Error nº3

Teorema de los valores intermedios de Cauchy: Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales contínuas en \([a,b]\) y derivables en \(]a,b[\), entonces existe al menos un punto \(c \in ]a,b[\) tal que:
\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\]

Fuente:

Varios libros de primeros niveles universitarios en castellano usados supuestamente como "referencia". Páginas webs concurridas en castellano en la que la gente confía ciegamente como "clasesdeapoyo.com", "vitutor", "wikipedia.es" (lo he corregido en wikipedia.es y ahora es correcto).

Lo correcto es:

Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales contínuas en \([a,b]\) y derivables en \(]a,b[\), entonces existe al menos un punto \(c \in ]a,b[\) tal que:

\[(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)\]

En el caso de que en un determinado punto \(c\) hallado con lo expuesto anteriormente tengamos \(g(a) \neq g(b)\) y además \(g'(c)\neq o\) entonces podemos escribir:

\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\]

Este error en la vida cotidiana sería:

Pendiente.

Explicación:

Tampoco es correcto añadir "siempre que \(g(a) \neq g(b)\)" después de haber afirmado la existencia del punto \(c\) pues el(los) punto(s) \(c\) del teorema correctamente escrito existirá(an) aunque \(g(a) = g(b)\) y dicho(s) punto(s) puede(n) perfectamente anular la derivada de \(g\) con lo cual no cumplirá(an) \(\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\). Peor aún sería afirmar "siempre que \(g'(c) \neq 0\)" pues si hemos supuestamente hallado un punto \(c\) que cumpla una condición en la que \(g'(c)\) aparece en un denominador, entonces podemos estar bien seguro de que \(g'(c) \neq 0\) y la condición "siempre que \(g'(c) \neq 0\)" sobra. El problema es que precisamente no existe necesariamente un tal punto \(c\) que cumpla \(\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\), con o sin añadir la condición "\(g'(c) \neq 0\)". Con lo cual, al no existir necesariamente, no lo hemos definido, no podemos hablar de él y poner condiciones a posteriori.

En el fondo el problema se resume en que si cuatro reales \(a, b, c, d\) son tales que \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) entonces \(ad=bc\). La recíproca no es cierta, así de sencillo. Es asombroso, con lo preciso y exacto que era Cauchy, que en el año 2014 se este enseñando en ciertas universidades españolas una versión inventada e incorrecta de su teorema. Cauchy ha sido un matemático brillante su teorema de los valores intermedios era y es exacto y correcto. Lo que se ve en "clasesdeapoyo.com", "vitutor", "wikipedia.es", libros y apuntes de ciertas universidades es totalmente falso.


Demostración de que 2=3 usando ese error:

Sea \(f\) la función real definida por \(f(x)=x^{2}\) y \(g\) la función real definida por \(g(x)=x^{3}\). Se trata de dos funciones contínuas en \([-1,1]\) y derivables en \(]-1,1[\), el falso teorema de Cauchy nos dice que existe un real \(c \in ]-1,1[\) tal que:
\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(1)-f(-1)}{g(1)-g(-1)}\]
De paso, como consecuencia podriamos afirmar sin miedo que \(g'(c)\neq 0\). Pero el caso es que en realidad no existe \(c\) por mucho que nos empeñemos.

En definitiva, si existiera \(c\) cumpliría:
\[\frac{2c}{3c^{2}}=\frac{0}{2}\]
Por lo tanto, \(\frac{2}{3c}=0\) y multiplicando ambos lados por \(3c\) obtenemos (sin recíproca) que \(2=0\). Dividiendo entre 2 y sumando \(1\) ya tenemos \(2=3\).

Error nº4

En un capítulo donde se redondea "hacia arriba" en el sentido de que se encomienda a los alumnos a redondear un decimal igual a 5 sin digitos posteriores al valor superior, reza un ejercicio: "Buscar el número mas grande que redondeado a la unidad da \(1\)" y se espera como respuesta "\(1.4\overline{9}\)".

Fuente:
Libros de la ESO

Lo correcto es:

No existe tal numero.

Este error en la vida cotidiana sería:

Pendiente

Explicación:

\(1.4\overline{9}\) es otra forma de escribir \(1.5\). Una forma que de hecho se debería evitar. No deben los decimas escribirse con un periodo 9 (ver metodos de construcción de \(\mathbb{R}\)). En efecto, pongamos \(x=1.4\overline{9}\). Observamos que \(100x=149.\overline{9}\) y \(10x=14.\overline{9}\). Sustrayendo miembro a miembro obtenemos: \(90x=135\) y por lo tanto \(x=1.5\). Y sin embargo, \(1.5\) se redondea a \(2\) y no a \(1\). Por lo tanto no es la solución del ejercicio.

El problema viene de la topología de \(\mathbb{R}\). Hay subconjuntos de \(\mathbb{R}\) que aún existiendo un límite superior no admiten máximo. Es el caso de los intervalos abiertos a la derecha que no terminan en "\(+\infty[\)". Lógicamente pasa lo mismo con los límites inferiores y los mínimos. Al fin y al cabo es como si el ejercicio pidiera el mas pequeño número estrictamente positivo. Ese número no existe.

Demostración de que 2=3 usando ese error:

Según el libro, \(1.4\overline{9}\) se redondea a \(1\) y según el mismo libro \(1.5\) se redondea a \(2\). Puesto que \(1.4\overline{9}=1.5\), con mas motivo son iguales sus redondeos. Por lo tanto \(1=2\), sumando \(1\) obtenemos \(2=3\).

Error nº5

1/x decreciente en su dominio

Error nº6

representar con intervalos:

Error nº7

Equisustractividad


Fuente:

Lo correcto es:

Este error en la vida cotidiana sería:




Explicación:

Demostración de que 2=3 usando ese error:




Error nº8

Definición de numeros primos






Fuente:

Lo correcto es:

Este error en la vida cotidiana sería:

Explicación:

Demostración de que 2=3 usando ese error:


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