Los monomios son funciones cuya expresión es del tipo \(f(x)=ax^{n}\) donde \(a\) es un coeficiente (una constante) y \(n\) es un natural. Aunque se puedan definir en otros cuerpos, hablaremos aquí de monomios y polinomios reales de valores reales. Es decir que la constante \(a\) es un real y la variable \(x\) también. Es habitual escribir los monomios (y polinomios) con letras mayúsculas: \(M(x), P(x), Q(x), R(x), S(x), T(x)\) .
\(a\) es el coeficiente y \(n\) es el grado del monomio.
Ejemplo: \(M(x)=7x^{3}\) es un monomio de grado 3.
Cuando el grado es nulo, \(M(x)=ax^{0}=a\), tenemos un monomio de valor constante.
Un polinomio es una suma de varios monomios. Los monomios se suelen escribir por orden decreciente del grado, es decir primero el monomio de mayor grado. Un polinomio de grado \(n\) se escribiría:
Algunos de los coeficientes pueden ser nulos. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado (en este caso sería \(n\), suponiendo que \(a_{n}\) no es nulo). \(a_{0}\) es el término independiente (es el único que no depende de la variable \(x\)). El término independiente es también el valor del polinomio en cero: \(P(0)=a_{0}\).
Ejemplo: \(P(x)=3x^{5}+x^{3}-5x^{2}+x+11\) es un polinomio de grado 5 y su término independiente es 11.
Dos o mas polinomios pueden sumarse entre sí. Por ejemplo el polinomio \(P\) resultante de la suma entre dos polinomios \(S\) y \(T\), es decir: \(P=S\bigoplus T\) sería el polinomio que a todo \(x\in\mathbb{R}\) asocia \(P(x)=S(x)+T(x)\). La suma así definida constituye una ley de composición interna entre los polinomios. Es decir que compone dos polinomios para definir un tercero. Se suele escribir "\(+\)" en vez de "\(\bigoplus\)" aunque no es una suma entre reales sino entre polinomios: \(P=S + T\). Al realizarse la suma, pueden haber términos que se agrupan y términos que desaparecen.
Ejemplo: \(S(x)=x^{7}-2x^{4}+3x^{2}-x+1\) y \(T(x)=2x^{6}+2x^{4}+x^{2}+3x+7\) son dos polinomios. Para calcular la suma, lo mejor es trabajar usando columnas. Una columna para cada grado, tal y como sumamos enteros:
En definitiva, la suma es \(P(x)=x^{7}+2x^{6}+4x^{2}+2x+8\).
Observar que la suma de polinomios es conmutativa, admite un elemento neutro que es el polinomio cuyos coeficientes son todos nulos: \(N(x)=0\). Todo polinomio \(S\) tiene un opuesto \(-S\) que obtenemos al cambiar el signo de cada uno de sus coeficientes. La suma de un polinomio y su opuesto da el elemento neutro.
Igualmente podemos definir la multiplicación entre polinomios. Se hará mas adelante en esta sección. De momento comparto vídeos:
Video sobre la definición de monomios y de polinomios:
Video sobre la definición de la suma polinomial.
Vídeo sobre la definición del producto polinomial.
Vídeo sobre propiedades del producto polinomial.
Vídeo sobre la division polinomial. En este vídeo se recuerda primero la división euclidiana entre los enteros.
Vídeo sobre la division polinomial. En este vídeo se explica la división entre polinomios y se compara con la división euclidiana entre los enteros.
Sobre las raíces de los polinomios y su relación con la división polinomial:
Explico ahora en dos videos la regla de Ruffini que nos permite simplificar la división polinomial en un caso particular.