Vamos a estudiar en este apartado dedicado a la lógica matemática, los principales procesos de los que se dispone para lograr demostrar algo. En particular vamos a ver la demostración directa, la demostración por el absurdo y la demostración por inducción.

Como indicado en el apartado dedicado a teoría axiomática, cuando se pretende demostrar algo, se hace teniendo una serie de axiomas que son indemostrables dentro de la teoría axiomática y que damos por válidos. Los axiomas conforman algo así como el marco en el que se va a trabajar. En ocasiones, tenemos una o varias hipótesis, es decir que la proposición que nos planteamos demostrar tiene la forma:

Hipótesis => Proposición

Supongamos que nos encontramos en la teoría axiomática “Rubios y Morenos” cuyos axiomas son:

  1. Los alumnos del cole son todos o rubios, o morenos

  2. Al profesor le gustan los quesos franceses

  3. Jaime, Raul y Juan son los únicos alumnos morenos de la clase

  4. Jaime y Raul no tienen 15 años

  5. A veces Juan acude a clase y otras no

En esta teoría podemos enunciar “Raul es moreno” que es una consecuencia directa de los axiomas (del tercero en este caso). Pero también podemos enunciar lo que llamamos el teorema “Que no lo hay” que dice que “Si Juan no acude a clase, no hay alumno rubio en la clase que tenga 15 años”.

Ya hemos demostrado este teorema en la sección “Teoría axiomática”. Esta vez necesitamos recurrir a la hipótesis además de los axiomas.

Demostración directa:

  1. Supongamos que la hipóstesis es verdadera : Juan no acude a clase

  2. Usamos el axioma 3 y afirmamos que como mucho en la clase hay dos morenos que son Jaime y Raul.

  3. Usamos en axioma 4, puesto que los únicos morenos posibles en clase no tienen 15 años, afirmamos que no hay alumno moreno de 15 años.

Ha quedado demostrado el teorema.

Veamos otro ejemplo con números:

Vamos a demostrar que la suma de los naturales hasta el natural "n" es: n(n+1)/2, es decir:

\[\forall n\in \mathbb{N}^{*}\;\;\;1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}\]

  1. Supongamos n un natural no nulo,
  2. Notamos S la suma en cuestión, S=1+2+3+...+n (1)
  3. Usamos la comutatividad y obtenemos: S=n+...+3+2+1 (2)
  4. Sumando miembro a miembro (1) y (2) obtenemos: 2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)...+(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1), todos estos términos de la suma son en iguales a n+1 y además tenemos n términos con lo cual 2S=n (n+1), dividimos entre dos y obtenemos lo deseado.

Pero a veces las demostraciones no son tan sencillas y hay que recurrir a otra forma de razonar, por ejemplo la demostración por el absurdo.

Demostración por el absurdo:

En este caso vamos a suponer que la hipótesis es verdadera y además que NO es verdadera la proposición de llegada. Vamos a suponer pues que Juan no acude a clase y además que existe un alumno en la clase, moreno y de 15 años. Ahora vamos a ir razonando hasta llegar a un absurdo, algo que contradice la hipótesis o contradice los axiomas, una proposición a la vez falsa o verdadera, en fín un absurdo.

Volvamos ahora al asunto de rubios y morenos, vamos a demostrar por el absurdo el teorema "Que no lo hay":

  1. Supongamos que la hipóstesis es verdadera : Juan no acude a clase

  2. Supongamos que la proposición de llegada es falsa: Sí existe un alumno moreno en clase, de 15 años.

  3. Dicho alumno tiene que ser Jaime o Raul ya que es moreno y que según el axioma 3 los únicos morenos son Jaime, Raul y el ausente Juan (acabo de usar la hipótesis).

  4. Dicho alumno tiene que tener 15 años ya que tanto Jaime como Raul tienen 15 años según el axioma 4.

  5. Dicho alumno tiene 15 años y a la vez no tiene 15 años, esto es un absurdo.

Ha quedado demostrado el teorema.

Vamos a ver otro ejemplo con números: 

\[\sqrt{2}\: es\: irracional\]

Demostración por el absurdo:

  1. Supongamos que es racional, luego existen dos enteros P y Q tales que: \(\sqrt{2}=\frac{P}{Q}\)
  2. Reducimos la fracción y encontramos dos enteros p y q primos entre sí (cuyo único divisor común es 1) tales que: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) y por lo tanto, \(2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\). Además podemos elegir p y q positivos ambos. 
  3. p y q son primos entre sí con lo cual en sus descomposiciones en productos de factores primos, no tienen ningún término en común. Los términos de las descomposiciones de p2 y q2 son los mismos que en las descomposiciones de p y q (salvo que aparecen el doble de veces). Con lo cual tampoco aparecerá ningún factor en común en las descomposiciones de p2 y q2. Lo que nos lleva a decir que p2 y q2 también son primos entre sí y el único divisor común que tienen es 1.
  4. La expresión \(2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\) nos dice que q2 es divisor de p2. También es divisor de sí mismo y por lo tanto es divisor común. Visto el punto 3, q2 = 1, y como q>0, q=1, con lo cual 2=p2, como 2 no es un cuadrado perfecto, se deduce que p no es entero.
  5. p es entero y no es entero, esto es un absurdo y ha quedado demostrado que \(\sqrt{2}\) es irracional.
Demostración por inducción:

La demostración por inducción se usa normalmente cuando la proposición "P" que se pretende demostrar depende de un entero "n". Es el caso de la propiedad enunciada anteriormente en la que se dice que la suma de los naturales hasta el natural "n" es: n(n+1)/2. Como esta proposición depente de "n", la notamos "Pn". La demostación por inducción consiste en:

  1. Comprobar la proposición para un determinado entero n0.
  2. Comprobar que si la proposición es verdadera para un entero n\(\geq\)n0, entonces lo es tambien para n+1
Demostración por inducción de que 1+2+3+...+n = \(\frac{n(n+1)}{2}\):
  1. Para n0=1, es obvio, todo queda en \(\frac{1(1+1)}{2}=1\).
  2. Si se cumple la proposición para un entero n\(\geq\)1: S=1+2+3+...+n = \(\frac{n(n+1)}{2}\). Vamos a ver si se cumple para n+1. Notamos S' la suma 1+2+3+...+n+(n+1).
  3. S'=S+n+1. Usamos la hipótesis y sustituimos S por su valor: \(S'=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{n(n+1)+2n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\). Observamos que la proposición es cierta par el entero n+1 por lo tanto se puede concluir que es cierta para todos los naturales a partir de 1.

Podemos destacar que la demostración por inducción no es constructiva en el sentido de que es necesario tener el resultado (en este caso la expresión de la suma S), para luego demostrar que dicho resultado es efectivamente correcto. En cambio en la demostración directa, podría no conocer la expresión de la suma S de antemano, la propia demostración construye la expresión a la vez que la demuestra.

Autor: Gauthier Dubois
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