En esta sección de "Razonamiento" se pretende dar algunas herramientas para el razonamiento matemático.

Estas herramientas pueden parecer a veces asombrosamente sencillas pero afirmo que su desconocimiento o su mal uso es demasiado común incluso en la literatura especializada.

Explicar las matemáticas con falta de rigor o fallos de razonamiento es contraproducente. Es peor que no explicar nada. Pienso que en gran medida las matemáticas son sencillas a condición de razonar con lógica y rigor. En cambio si uno no tiene bien claro principios fundamentales, las matemáticas se vuelven extrematamente compejas y cualquier esfuerzo de razonar nos llevará a cada vez mas preguntas. En este caso probablemente terminaremos por recurrir a la memoria, sin entender lo que se está haciendo. Entre los conceptos que invito a tener bien claro, destaco:

  • UNICIDAD de TODO lo que se escribe. Que nadie escriba que \(\sqrt{4}=\pm 2\) porque nos llevará a confusiones horribles.
  • Una definición debe ser explícita o implicita. Si la definición es explicita debemos nombrar o enseñar inequivocadamente el objeto matemático. Si la definición es implicita debemos decir a qué conjunto de objetos pertenece el objeto que estamos definiendo para luego dar una o varias propiedades y terminar demostrando que EXISTE dicho objeto y que es ÚNICO. Ejemplos:
    • Definición explicita: Sea \(f\) la función real de una variable real, que a todo \(x\in \mathbb{R}\) asocia \(f(x)=2x+1\).
    • Definición implicita: La raíz cuadrada principal de un número real positivo (o nulo) \(x\) es el único real positivo (o nulo) cuyo cuadrado es dicho número \(x\). La raíz cuadrada principal de \(x\) se nota \(\sqrt{x}\).
  • Buen y moderado uso de los operadores lógicos tales como \(\Leftrightarrow\;\Rightarrow\).
  • Tener claro lo que es un axioma, una hipótesis, un teorema.
  • Demostrar todo lo que se escribe salvo contadas ocasiones en las que se debe destacar que no vamos a demostrar algo (y decir el motivo).
La sección "Razonamiento" de esta web está dedicada a aclarar todos estos asuntos. Es una invitación a caminar en vez de correr... e ir mucho mas lejos.

Autor: Gauthier Dubois
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