Ejercicios sobre derivadas.

Ejercicio 1:

Sea \(f\) una función real de valor real definida por su expresión: \(f(x)=e^{x}(x^{2}-35)\). Estudiar la monotonía de \(f\), es decir averiguar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejercicio 2:

Observamos que la función exponencial de base natural es igual a su propia derivada. Además podemos multiplicarla por cualquier real y seguimos teniendo una función con la misma propriedad (es igual a su derivada). Demostrar que estas son las únicas funciones que tienen esa propiedad.

Ayuda: Sea \(f\) una función real de valor real, derivable, igual a su propia derivada. Hemos de demostrar que existe un real \(K\) tal que para todo \(x\in\mathbb{R}\), tenemos \(f(x)=Ke^{x}\). Para ello, estudiar la función \(g\) definida por \(g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}\).

Ejercicio 3:

Escoger una función par derivable. Derivarla y estudiar la paridad de su derivada.
Hacer lo mismo con una función impar.
¿Qué podemos observar?
Haciendo uso de la definición de la derivada (límites) demostrar lo que se ha observado.

Autor: Gauthier Dubois
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