Trataremos en este artículo del primer contacto que tienen normalmente los alumnos con el apasionante y sorprendente mundo de la topología, se trata de los límites de series reales.

Con una serie real me refiero a una lista de reales. Lo importante de esta serie de reales es que es numerable, es decir que podemos hablar del primero de ellos, el segundo etc., normalmente de forma indefinida.

Supongamos una serie que llamamos  \(u\). Podemos escribir el primer término de esta serie como \(u_{0}\)
, el segundo \(u_{1}\), el tercero \(u_{2}\), y así succesivamente. Así para cualquier natural \(n\in\mathbb{N}\), tenemos el real \(u_{n}\in\mathbb{R}\).

Es muy común que los términos de una serie se relacionen con el índice que usamos para numerarlos, por ejemplo, la serie: 1, 3, 5, 7, ... es la serie \(u_{n}=(n-1)/2\) para
\(n\in\mathbb{N}\).

Existe una cosa fundamental para poder hablar de límites, y es que los valores que pueden tomar la serie se pueden comparar entre sí y podemos definir una distancia que los separa. Es el caso cuando son reales. En efecto, podemos comparar reales con la relación de orden "es mas grande que" o "es mas pequeño que", y además disponemos de una distancia que es el valor absoluto de la diferencia de dos reales. Podríamos definir otra relación de orden y otra distancia pero lo habitual es trabajar con estas.

Para el caso de una serie \(u_{n\in\mathbb{N}}\) sólo se hablara de un límite en el infinito, es decir, cuando \(n\) "tiende" al infinito. Ojo, que la preposición "en" en la frase anterior es fundamental. Que sea hablando de serie o de funciones, no es lo mismo decir que tenemos un límite en \(+\infty\) que decir que dicho límite es
\(+\infty\).

Existen dos tipos de límite para una serie real, uno infinito y el otro finito.

Límite infinito:

 
Supongamo que observamos que los términos de la serie son cada vez mas grande cuando \(n\) crece. Sospechamos que de algún modo cuando el natural \(n\) "se va al infinito", también la serie \(u_{n}\) "se va al infinito". Pues esto lo vamos a tener que escribir con rigor porque el mundo del "infinito" es terriblemente resbaladizo. En vez de decir que \(u_{n}\) "se va al infinito" vamos a decir que tiene como límite \(+\infty\) cuando \(n\) tiende a \(+\infty\), o dicho de otro modo su límite es\(+\infty\) en\(+\infty\). Esto lo vamos a poder decir si y sólo si resulta que podemos elegir cualquier número, por muy grande que sea, existirá un índice \(n\) a partir del cual todos los terminos de la serie son superiores a dicho número.

Es decir, que podemos elegir cualquier número \(M\), existirá un índice \(n\) (que lógicamente dependerá del número \(M\) elegido) a partir del cual para cualquier índice \(i\in\mathbb{N}\), basta con tener \(i\geq n\) para estar seguro de que tenemos también: \(u_{i}\geq M\). Y esto, se escribe así:

\[\lim_{n \to +\infty}u_{n}=+\infty\;\; \Leftrightarrow  \forall M\in\mathbb{R},\, \exists n\in\mathbb{N},\; / \;\forall i\in \mathbb{N},\; i\geq n \Rightarrow u_{i}\geq M \]

Esta frase aparentemente fea no debería asustar a nadie. Es simplemente decir "por muy grande que sea la meta (M), llegará un momento (n) en que todos los terminos restantes de la serie (\(u_{i}\)) la superen".

 

Ejemplos:
  • \(u_{n}=2n+1\) para \(n\in\mathbb{N}\) tiene como límite \(+\infty\), en efecto podemos elegir cualquier número \(M\), si elegimos \(n\) el primer natural mayor que \(M/2\), dicho natural cumple con las condiciones. Si un natural \(i\) es mayor que \(n\), tenemos \(n\leq i\), por lo tanto \(2n+1\leq 2i+1\), lo que viene a decir \(2n+1\leq u_{i}\). Pero por otra parte sabemos que \(M/2 \leq n\), y por lo tanto \(M \leq 2n+1\), finalmente \(M \leq u_{i}\).
  • \(u_{n}=n^{n}\)
  • \(u_{n}=\sqrt{n}\)


Lógicamente, la serie puede tener como límite \(-\infty\):

\[\lim_{n \to +\infty}u_{n}=-\infty\;\; \Leftrightarrow  \forall M\in\mathbb{R},\, \exists n\in\mathbb{N},\; / \;\forall i\in \mathbb{N},\; i\geq n \Rightarrow u_{i}\leq M \]

Límite finito:

Ahora supongamos que observamos que \(u_{n}\) se acerca a un valor determinado a medida que \(n\) crece. Llamemos \(L\) dicho valor. Decimos que la serie es convergente, es decir que tiene un límite finito \(L\) si y solo si por muy pequeño que elijamos \(\varepsilon\) (estrictamente positivo) existirá un "momento" a partir del cual todos los terminos de la serie se encuentren a una distancia de \(L\) inferior a dicho valor \(\varepsilon\).

Puesto que trabajamos en \(\mathbb{R}\) elegimos como distancia el valor absoluto de la diferencia. Es decir que la distancia entre 3 y 5 es dos. Entre 5 y 3 es dos también. Se escribe: \(d(3,5)=\left |  3-5 \right |=2\).

Podemos elegir cualquier número \(\varepsilon\geq 0\), por muy pequeño que sea, siempre existirá un natural \(n\in \mathbb{N}\) (cuanto mas pequeño \(\varepsilon\), mas grande será \(n\)), a partir del cual todos los términos de la serie se encuentran cerquita de \(L\), y tan cerquita que la distancia que los separa es inferior a \(\varepsilon\). Digamoslo con simbología:

\[\lim_{n \to +\infty}u_{n}=L\;\; \Leftrightarrow  \forall \varepsilon \in\mathbb{R}^*,\, \exists n\in\mathbb{N},\; / \;\forall i\in \mathbb{N},\; i\geq n \Rightarrow d(u_{i},L)\leq \varepsilon\]

Se escribe también:

\[\lim_{n \to +\infty}u_{n}=L\;\; \Leftrightarrow  \forall \varepsilon \geq 0,\, \exists n\in\mathbb{N},\; / \;\forall i\in \mathbb{N},\; i\geq n \Rightarrow \left | u_{i}-L \right | \leq \varepsilon\]


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Autor: Gauthier Dubois
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