Como se ha visto en la sección "Matriz de un sistema lineal", un sistema de \(n\) ecuaciones lineales de \(p\) variables es un sistema de ecuaciones:

\[\left \{ \begin{array}{ ccccl }  a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&...&+a_{1p}x_{p}&=b_{1}\\ a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&...&+a_{2p}x_{p}&=b_{2}\\|&|&...&|&| \\a_{n1}x_{1}&+a_{n2}x_{2}&...&+a_{np}x_{p}&=b_{n}  \end{array}\right. \]

Donde los \(n\times p\) coeficientes \(a_{ij}\) son elementos de un cuerpo como \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\) por ejemplo.

Para simplificar, se puede escribir esto en forma de matriz-término independiente:

\[\left ( \begin{array}{ cccc|c }  a_{11}&a_{12}&...&a_{1p}&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2p}&b_{2}\\|&|&...&|&| \\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{np}&b_{n}  \end{array}\right )\]

El metodo de Gauss utiliza el hecho de que si tenemos una ecuación del tipo "Expresión 1=Expresión 2", podemos sumar cualquier cantidad a ambos lados de la ecuación, o multiplicar por cualquier número distinto de cero, obtendremos una ECUACIÓN EQUIVALENTE. Por lo tanto en el sistema matriz-término independiente podremos multiplicar las líneas (al completo, es decir incluyendo el término independiente) por reales (en su caso complejos) distintos de cero. Y obtendremos un SISTEMA EQUIVALENTE. Además podemos sustituir una línea por dicha línea "mas" otra línea (puesto que viene a sumar a ambos lados el mismo número). En definitiva, podemos sustituir cualquier línea \(L_ {i}\) por una combinación líneal DE SÍ MISMA y de algunas de las demás (o todas). Podemos darnos \(n\) reales \(\alpha_{1}, \alpha_{2},...\alpha_{n}\) cualesquiera siempre que \(\alpha_{i}\neq0\), podemos sustituir la i-esima línea \(L_ {i}\) por \(L'_ {i}\):

\[L'_ {i}=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} L_{k}\;\;\;\;\text{ donde }\alpha_{i}\neq 0\]

Insisto que todo el proceso se basa en que podemos sumar a los dos lados de una ecuación (línea) el mismo real o multiplicarlos por un número distinto de cero. Este es el motivo por el que \(\alpha_{i}\neq0\) y por el que he puesto mayusculas al escribir que podemos sustituir una línea por una combinación líneal DE SÍ MISMA y de las demás líneas.

El nuevo sistema de ecuaciones obtenido es EQUIVALENTE, es decir que tiene las mismas soluciones. Y la nueva matriz obtenida es también equivalente a la matriz inicial, se trata de la matriz del mismo morfismo (aplicación líneal), escrita en una base distinta del espacio vectorial de destino. Hemos realizado cambios de base.

También en el metodo de Gauss podemos invertir el orden de dos líneas y obviamente obtenemos un sistema equivalente.

El metodo de Gauss consiste en obtener una matriz triangular a partir de la matriz inicial. Si el sistema tiene tantas incóñitas como ecuaciones, siempre será posible triangularizar su matriz. Si tiene mas ecuaciones que incóñitas, algunas de las ecuaciones seran necesariamente combinación lineal de las demás e igualmente si tiene mas incóñitas que ecuaciones algunas columnas seran necesariamente combinación lineal de las demás.

Suponiendo que tenemos tantas incóñitas que ecuaciones, es decir \(n=p\), vamos a utilizar las operaciones permitidas por el metodo de Gauss, a saber:

- Intercambiar dos líneas.
- Sustituir una de las líneas por una combinación líneal de sí misma y de las demás.

Para lograr una matriz triangular superior.

En el primer paso haremos lo necesario para lograr que la primera columna de la matriz sea un número cualquiera en la posición 1 y el resto sean ceros. Si la línea está formada solamente de ceros, ya lo tenemos y podemos pasar al paso siguiente. Si no está formada solamente de ceros, podemos invertir el orden de las líneas de tal forma que obtenemos un número distinto de cero en la posición 1. Supongamos para simplificar que dicho número es \(a_{11}\). A continuación sustituimos la línea \(L_{2}\) por  \(L'_{2}=L_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}L_{1}\), obteniendo un cero en la posición 2 (en efecto, en la posición 2 se obtiene \(a_{21}-\frac{a_{21}}{a_{11}} \times a_{11}=0\)) . Hacemos lo mismo con las demás líneas: \(L'_{i}=L_{i}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}L_{i}\), obteniendo un cero en la posición i.

Finalmente obtenemos una primera columna formada de un número y a continuación \(n-1\) ceros:

\[  \begin{matrix} L_{1} \\ L'_{2}=L_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}L_{1} \\ | \\ L'_{n}=L_{n}-\frac{a_{n1}}{a_{11}}L_{n} \end{matrix}  \left ( \begin{array}{ cccc|c }  a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}&b_{1}\\ 0&a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}&...&a_{2n}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n}&b_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1}\\|&|&...&|&| \\0&a_{n2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}&...&a_{nn}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n}&b_{n}-\frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1} \end{array}\right )=  \left ( \begin{array}{ cccc|c }  a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}&b_{1}\\ 0&a'_{22}&...&a'_{2n}&b'_{2}\\|&|&...&|&| \\0&a'_{n2}&...&a'_{nn}&b'_{n}\end{array}\right ) \]

Ahora, no toquemos la primera línea y volvemos a hacer exactamente los mismo interesándose por la matriz de orden \(n-1\) y término independiente:

\[ \left ( \begin{array}{ ccc|c }  a'_{22}&...&a'_{2n}&b'_{2}\\|&...&|&| \\a'_{n2}&...&a'_{nn}&b'_{n}\end{array}\right )\]

Repetimos el proceso para conseguir una primera columna con \(n-2\) ceros y esto no afectará a los ceros obtenidos en la primera columna de la matriz inicial. Obtenemos en definitiva:

\[\left ( \begin{array}{ ccccc|c }  a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}&b_{1}\\ 0&a'_{22}&a'_{23}&...&a'_{2n}&b'_{2}\\ 0&0&a''_{33}&...&a''_{3n}&b''_{3}\\|&|&|&...&|&| \\0&0&a''_{n3}&...&a''_{nn}&b''_{n}  \end{array}\right )\]

Repetimos el proceso hasta completar una matriz triangular superior.

En dicha matriz, con su término independiente, la última ecuación viene a ser:

\[0x_{1}+0x_{2}+...+a^{'...'}_{nn}x_{n}=b^{'...'}_{n}\]

Si \(a^{'...'}_{nn}\neq0\), tiene la única solución \(x_{n}=\frac{b^{'...'}_{n}}{a^{'...'}_{nn}}\).

Si \(a^{'...'}_{nn}=0\), tenemos una indeterminación. Para seguir resolviendo hay que dar un valor a \(x_{n}\), por ejemplo \(x_{n}=\lambda\) y seguir resolviendo. \(\lambda\) será un parametro de nuestas soluciones.

Una vez tenemos la variable \(x_{n}\), nos interesamos a la penúltima línea, la cual nos dará \(x_{n-1}\) y así succesivamente hasta encontrar la solución \(\left ( \begin{array}{c}x_{1}\\|\\x_{n}\end{array} \right )\) (o las soluciones en caso de haber recurrido a uno o varios parametros).
seguiré...




Autor: Gauthier Dubois
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