\(\newcommand{\inter}{\cap}\)
\(\newcommand{\union}{\cup}\)
\(\newcommand{\impl}{\Rightarrow}\)
\(\newcommand{\partes}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\cv}{\varnothing}\)

Partes de un conjunto \(E\)

Una parte de un conjunto es un subconjunto de dicho conjunto.

Notamos \(\partes (E)\) el conjunto de todas las partes (todos los subconjuntos) de \(E\).

Si \(E=\cv \), tendremos \(\partes(E)=\{\cv\}\)
Si \(E=\{a\}\), tendremos \(\partes(E)=\{\cv, \{a\}\}\)
Si \(E=\{a,b\}\), tendremos \(\partes(E)=\{\cv, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\)
etc...


Partición de un conjunto \(E\)

Sea \(\mathcal{S}\) un subconjunto de \(\partes(E)\), (atento, cada elemento de \(\mathcal{S}\) es un subconjunto de \(E\), no un elemento de \(E\)).

\(\mathcal{S}\) es una partición de \(E\) si y sólo si:

\[\left\{\begin{align}  &\forall X\in \mathcal{S}, X\neq \cv \\ &\forall x\in E,\;\exists X\in \mathcal{S}/x\in X \\ & \forall X\in\mathcal{S},\forall Y\in\mathcal{S},\; X\neq Y \impl X \inter Y =\cv   \end{align}\right.\]

Es decir que ninguno de los elementos de \(\mathcal{S}\) es el conjunto vacío, \(\mathcal{S}\) es un recubrimiento de \(E\) y los elementos de \(\mathcal{S}\) son dos a dos disjuntos.

Si \(E=\{a,b\}\), entonces \(\mathcal{S}=\{\{a\},\{b\}\}\) es una partición de \(E\).
Si \(E\) no es el conjunto vacío, entonces \(\mathcal{S}=\{E\}\) es una partición de \(E\).
Si \(A\) es un subconjunto no vacío de \(E\), entonces \(\mathcal{S}=\{A,\overline{A}\}\) es una partición de \(E\).
Si \(A\) y \(B\) son dos subconjuntos de \(E\) tales que ninguno de los conjuntos \(A\setminus B\), \(A\inter B\) y \(B\setminus A\) es el conjunto vacío, entonces \(\mathcal{S}=\{A\setminus B,A\inter B, B\setminus A\}\) es una partición de \(A\union B\).

Ejercicio: Buscar todas las particiones de un conjunto de 3, 4 o 5 elementos.

Seguiré...



Autor: Gauthier Dubois
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