Se suelen utilizar en las matemáticas una serie de proposiciones. Las proposiciones son enunciados del tipo "No hay alumno moreno en la clase que tenga 15 años de edad" o "3 es mayor que 2".

Las proposiciones pueden tomar solamente dos valores: falso o verdadero de forma exclusiva, es decir que se admite que una proposición bien formulada es o verdadera o falsa pero no es a la vez verdadera y falsa. Otra cosa bien distinta es que la proposición sea o no demostrable, esto ya es otro cantar ya que hay proposiciones que no son demostrables con lo que ni podemos afirmar que son verdaderas ni que son falsas. Además, aquello de la demostrabilidad es muy relativo como lo vamos a ver a continuación.

Un axioma es una proposición que consideramos no demostrable y que admitimos como verdadera. Por ejemplo un axioma podría ser "Los alumnos del cole son todos o rubios, o morenos". A partir de allí y con algunos axiomas mas, podríamos plantearnos desmostrar que no hay alumno moreno en la clase que tenga 15 años de edad.

El conjunto de todos los axiomas que admitimos como verdaderos conforma lo que se llama "Teoría axiomática".

Demostrar una proposición consiste en lograr afirmar que es verdadera utilizando principios de la lógica, los axiomas de nuestro sistema y eventualmente las hipótesis. 

Una hipótesis es una proposición que suponemos verdadera y a partir de la cual vamos a demostrar una (o varias) proposiciones.

Cuando logramos demostrar dentro de una teoría axiomática una proposición relevante que nos servirá mas adelante para seguir estudiando, estamos ante un teorema. Casi siempre, para demostrar un teorema necesitamos algunas hipotesis además de los axiomas. Por lo tanto el teorema suele tener la siguiente forma "Si... (aquí las hipótesis)..." entonces "... (aquí la proposición relevante)..." pero no se suelen recordar constantemente los axiomas que se admiten verdaderos dentro de la teoría. Para ello ponemos en la cubierta del libro algo así como "Geometría Euclidiana" y paz y gloria: el libro entero está escrito dentro de este sistema axiomático.

Por ejemplo:

Axiomas de la teoría axiomática "Rubios y Morenos": 
  1. Los alumnos del cole son todos o rubios, o morenos
  2. Al profesor le gustan los quesos franceses
  3. Jaime, Raul y Juan son los únicos alumnos morenos de la clase
  4. Jaime y Raul no tienen 15 años
  5. A veces Juan acude a clase y otras no
Teorema "Que no lo hay":

"Si Juan no acude a clase, no hay alumno moreno en la clase que tenga 15 años de edad".

En este teorema, "Juan no acude a clase" sería la hipótesis (la cual no siempre es verdadera), y "No hay alumno moreno en la clase que tenga 15 años de edad" es la proposición relevante que nos interesa.

Vamos a demostrar este pequeño teorema usando los axiomas:

Demostración:

Supongamos la hipotesis: resulta que hoy Juan no acude a la clase. Según el axioma nº3, los únicos candidatos de la clase a ser morenos de 15 años serían Jaime y Raul (no Juan porque hoy no está). Pero según el axioma nº4 ni Jaime ni Raul tienen 15 años. Luego no queda nadie en la clase que tenga 15 años y sea moreno y esto es lo que queríamos demostrar.

Podemos observar una cosa curiosa: sin el axioma nº4 no podríamos demostrar el teorema "Que no lo hay". Pero podríamos perfectamente considerar el teorema "Que no lo hay" como un axioma indemostrable. Digamos que sería nuestro nuevo axioma nº4, y a partir de este sistema axiomático reformado podríamos demostrar sin dificultad lo que antes era un axioma: "Jaime y Raul no tienen 15 años". Es decir que es posible considerar el axioma nº4 como un teorema y el teorema como un axioma!

Otro ejemplo:

Axiomas de la teoría axiomática "Geometría Euclidiana":
  1. Un segmento puede ser trazado uniendo dos puntos cualesquiera
  2. Un segmento puede ser prolongado infinitamente en una recta
  3. Dado un segmento, un circulo puede ser trazado usando una extremidad como centro y el segmento como radio
  4. Todos los ángulos rectos son congruentes
  5. Si dos rectas se cruzan con una tercera marcan ángulos inferiores a dos ángulos rectos, dichas rectas son secantes antes de cruzarse con la tercera
Teorema de Pitágoras:

"En un triángulo recto, el cuadrado de la hipotenusa es igual la suma de los cuadrados de los catetos".

No vamos a demostrar este teorema aquí porque no es el objeto de este artículo. Pero sepan que se deduce del sistema axiomático. Y curiosamente pasa lo mismo que en la teoría axiomática "Rubios y Morenos": podemos suprimir el axioma nº4 y el teorema de Pitágoras se volverá indemostrable, con lo cual podemos tomarlo como axioma a partir del cual podremos demostrar que todos los ángulos rectos son congruentes y volvemos a encontrar nuestro axioma nº4 transformado en teorema!

Termino este pequeño artículo sobre lógica matemática destacando que no todos los teoremas tienen la forma "Si A entonces B". A veces el teorema dice que A y B son equivalentes, es decir que si tenemos A entonces tenemos B y además si tenemos B entonces tenemos A. Esto se dice "Tenemos A si y sólo si B". La otra formulación (si B entonces A) se llama la recíproca.

En la teoría axiomática "Rubios y morenos", el teorema "Que no lo hay" no tiene su reciproca verdadera. En efecto, suponiendo que "No hay alumno moreno en la clase que tenga 15 años de edad", no podemos llegar a la conclusión de que "Juan no ha acudido a clase" pues Juan podría tener 16 años y estar presente. En cambio, el teorema "de Pitágoras" en la "Geometría Euclidiana" tiene su reciproca verdadera y el teorema se puede enunciar: "Un triangulo es recto si y solo si el cuadrado de su lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de sus lados menores".



Autor: Gauthier Dubois
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